Question

已知函數(shù)圖象在x=1處的切線方程為2y-1=0．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)（B在A、C之間）在曲線y=f（x）+ln（x-1）（x＞1）上，試探究與的大小關(guān)系，并說明理由；
（Ⅲ）證明：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，求出極值即可；
（Ⅱ） 先設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）且x₁＜x₂＜x₃y=f（x）-ln（x-1）=（x＞1）利用志數(shù)證明得函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增，由x₁＜x₂＜x₃得y₁＜y₂＜y₃，則=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（y₁-y₂）（y₃-y₂）＜0，則B是鈍角，最后結(jié)合余弦定理和正弦定理得sin²A+sin²C＜sin²B．從而得到證明；
（Ⅲ）分兩步進(jìn)行證明：第一步，當(dāng)n=1時(shí)不等式成立；第二步，當(dāng)n＞1時(shí)，構(gòu)造函數(shù)x∈[1，+∞），由（Ⅰ）得g（x）是[1，+∞）上的減函數(shù)，將區(qū)間[1，n]（n＞1）n-1等分，由定積分定義及幾何意義得到證明．
解答：解：（Ⅰ），由題意得，
則解得a=1，b=0…（2分）
由得f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是減函數(shù)，在（-1，1）上是增函數(shù)，故f（x）的極小值=，f（x）的極大值=…（4分）
（Ⅱ） 證明：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）且x₁＜x₂＜x₃y=f（x）-ln（x-1）=（x＞1）y'=，函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增，由x₁＜x₂＜x₃得y₁＜y₂＜y₃…（6分）
則=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（y₁-y₂）（y₃-y₂）＜0，則B是鈍角
由余弦定理得，即a²+c²＜b²，
由正弦定理得sin²A+sin²C＜sin²B．則＞＞1，
又∵f（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，∴＞…（9分）
（Ⅲ） 證明：當(dāng)n=1時(shí)不等式成立，…（10分）
當(dāng)n＞1時(shí)，構(gòu)造函數(shù)x∈[1，+∞），由（Ⅰ）得g（x）是[1，+∞）上的減函數(shù)，
將區(qū)間[1，n]（n＞1）n-1等分，由定積分定義及幾何意義得…（14分）
點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、不等式的解法、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．