設a為實數(shù),函數(shù)f(x)=a
1-x2
+
1+x
+
1-x
的最大值為g(a).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)設t=
1+x
+
1-x
,把函數(shù)f(x)表示為t的函數(shù)h(t),并寫出定義域;
(3)求g(a),并求當a>-
1
2
時滿足g(a)=g(
1
a
)
的實數(shù)a的取值集合.
(1)由題意得
1-x2≥0
1+x≥0
1-x≥0
-1≤x≤1
x≥-1
x≤1

∴函數(shù)f(x)的定義域為[-1,1].(4分)
(2)由t=
1+x
+
1-x
平方得t2=2+2
1-x2
.由x∈[-1,1]得,t2∈[2,4],
所以t的取值范圍是[
2
,2]

1-x2
=
1
2
t2-1
,∴h(t)=a(
1
2
t2-1)+t

h(t)=
1
2
at2+t-a
,定義域為[
2
,2]
.(8分)
(3)由題意知g(a)即為函數(shù)h(t)=
1
2
at2+t-a,t∈[
2
,2]
的最大值.
注意到直線t=-
1
a
是拋物線h(t)=
1
2
at2+t-a
的對稱軸,分以下幾種情況討論:
①當a>0時,函數(shù)y=h(t),t∈[
2
,2]
的圖象是開口向上的拋物線的一段,
t=-
1
a
<0
知y=h(t)在[
2
,2]
上單調遞增,∴g(a)=h(2)=a+2.
②當a=0時,h(t)=t,t∈[
2
,2]
,∴g(a)=h(2)=2.
③當a<0時,函數(shù)y=h(t),t∈[
2
,2]
的圖象是開口向下的拋物線的一段,t=-
1
a
>0

a若t=-
1
a
∈(0,
2
)
,即a<-
2
2
時,則g(a)=h(
2
)=
2
;
b若t=-
1
a
∈[
2
,2]
,即-
2
2
≤a≤-
1
2
時,則g(a)=h(-
1
a
)=-a-
1
2a
;
c若t=-
1
a
∈(2,+∞)
,即-
1
2
<a<0
時,則g(a)=h(2)=a+2;
綜上有g(a)=
a+2         a>-
1
2
-a-
1
2a
     -
2
2
≤a≤-
1
2
2
             a<-
2
2
.(14分)
當a>0時,
1
a
>0
,g(
1
a
)=
1
a
+2
,由g(a)=g(
1
a
)
得,a+2=
1
a
+2
,a=±1.∴a=1.
-
1
2
<a<0
時,
1
a
<-2
,此時g(a)=a+2,g(
1
a
)=
2
,由a+2=
2
解得a=
2
-2
a>-
1
2
矛盾.
∴滿足g(a)=g(
1
a
)
的所有實數(shù)a的取值集合是:{1}.(18分)
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