Question

某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到單位C處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如下圖（例如，路段AB發(fā)生堵車事件的概率為

1

10

，路段BC發(fā)生堵車事件的概率為

1

15

）．
（1）請(qǐng)你為其選擇一條由A到C的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最��；
（2）若記路線A→B→C中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：計(jì)算題

分析：（1）因?yàn)楦髀范伟l(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線A→C中遇到堵車的概率P₁可以做出，路線A→D→C中遇到堵車的概率P₂，路線A→B→C中遇到堵車的概率P₃，進(jìn)行比較得到結(jié)果．
（2）由題意知路線A→B→C中遇到堵車次數(shù)X可取值為0，1，2．結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，能夠求出變量的期望．

解答： 解：∵各路段發(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，
且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，
∴路線A→C中遇到堵車的概率P₁=

1

4

；
路線A→D→C中遇到堵車的概率P₂=1-(1-

1

5

)(1-

1

20

)=

6

25

；
路線A→B→C中遇到堵車的概率P₃=1-(1-

1

10

)(1-

1

15

)=

4

25

．
∴路線A→B→C中遇到堵車的概率最�。�
（2）由題意知路線A→B→C中遇到堵車次數(shù)X可取值為0，1，2．
P（X=0）=(1-

1

10

)(1-

1

15

)=

21

25

，
P(X=1)=

1

10

×(1-

1

15

) +(1-

1

10

)×

1

15

=

23

150

，
P（X=2）=

1

10

×

1

15

=

1

150

．
∴EX=0×

21

25

+1×

23

150

+2×

1

150

=

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望問題，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難．