Question

已知函數(shù)y=f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若將f（x）圖象按向量

a

=(m，0)（m＞0）平移得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，求m滿足的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）展開兩角和的正弦公式后進(jìn)行單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算，降冪后化積求周期，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解減區(qū)間；
（Ⅱ）把f（x）按向量

a

=(m，0)（m＞0）平移后得到y=2sin(2x-2m+

π

6

)，再由函數(shù)為奇函數(shù)得到-2m+

π

6

=kπ，從而求得m的值．

解答：解：（Ⅰ）y=f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1
=4cosx[sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

]-1
=4cosx[

3

2

sinx+

1

2

cosx]-1
=4cosx[

3

2

sinx+

1

2

cosx]-1
=2

3

cosxsinx+2cos2x-1
=2sin(2x+

π

6

)．
∴f（x）的最小正周期T=π．
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ⇒

π

3

+2kπ≤2x≤

4π

3

+2kπ⇒

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
∴f（x）的減區(qū)間是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]k∈Z；
（Ⅱ）將f（x）圖象按向量

a

=(m，0)（m＞0）平移，
得到y=2sin[2(x-m)+

π

6

]
=2sin(2x-2m+

π

6

)，
∵該函數(shù)為奇函數(shù)，∴-2m+

π

6

=kπ⇒m=

π

12

-

k

2

π（k≤0，k∈Z）．
即m=

π

12

-

k

12

π （k≤0，k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用，考查了兩角和與差的三角函數(shù)，訓(xùn)練了三角函數(shù)的平移，考查了與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，是中檔題．