Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f（x）=2ax+

1

x2

（a∈R）．
（1）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，求f（x）的解析式；
（2）若a＞-1，試判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）是否存在a，使得當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）有最大值-6．

Answer 1

分析：（1）∵f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)，
∴可以利用f（-x）=-f（x）求當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，求f（x）的解析式；
（2）f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，可以用判斷在（0，1）上f'（x）與0的關(guān)系來確定．
（3）對(duì)a的取值對(duì)f'（x）與0的關(guān)系進(jìn)行分類討論，根據(jù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性和f（x）有最大值-6，構(gòu)造方程進(jìn)行求解．

解答：（1）解：設(shè)x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），f（-x）=-2ax+

1

x2

，
∵f（x）是奇函數(shù)．∴f（x）=2ax-

1

x2

，x∈（0，1]．

（2）證明：∵f′（x）=2a+

2

x3

=2(a+

1

x3

)，
∵a＞-1，x∈（0，1]，

1

x3

＞1，
∴a+

1

x3

＞0．即f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，1]上是單調(diào)遞增函數(shù)．

（3）解：當(dāng)a＞-1時(shí)，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增．
f（x）_max=f（1）=-6，?a=-

5

2

（不合題意，舍之），
當(dāng)a≤-1時(shí)，f′（x）=0，x=

3	- 1 a

．
如下表：f_max（x）=f（

3	- 1 a

）=-6，解出a=-2

2

． x=

2

2

∈（0，1）．

∴存在a=-2

2

，使f（x）在（0，1）上有最大值-6．

點(diǎn)評(píng)：（1）若奇函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn)，則必有f（0）=0，這個(gè)關(guān)系式大大簡(jiǎn)化了解題過程，要注意在解題中使用．（2）對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義  （ 基本步驟為取 點(diǎn)、作差或作商、變形、判斷）求解．可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之．（3）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是求最值（或值域）的常用方法之一，特別對(duì)于抽象函數(shù)，更值得關(guān)注．