Question

已知函數(shù)f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）求函數(shù)M(x)=

f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|

2

的最大值；
（2）如果對(duì)f（x²）f（

x

）＞kg（x）中的任意x∈[1，4]，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先將絕對(duì)值符號(hào)化去，再確定函數(shù)的最大值；
（2）令t=log₂x，將對(duì)f（x²）f（

x

）＞kg（x）中的任意x∈[1，4]不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為（3-4t）（3-t）＞kt對(duì)一切t∈[0，2]恒成立，分類(lèi)討論，利用分離參數(shù)法，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）-g（x）=3（1-log₂x），
當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＜g（x）；當(dāng)0＜x≤2時(shí)，f（x）≥g（x），
∴M（x）=

3-2log2x，x＞2 log2x，0＜x≤2

當(dāng)0＜x≤2時(shí)，M（x）的最大值為1；當(dāng)x＞2時(shí)，M（x）＜1．
綜上：當(dāng)x=2時(shí)，M（x）取到最大值為1．
（2）由f（x²）f（

x

）＞kg（x）得：（3-4log₂x）（3-log₂x）＞k•log₂x，
令t=log₂x，∵x∈[1，4]，∴t∈[0，2]，
∴（3-4t）（3-t）＞kt對(duì)一切t∈[0，2]恒成立．
①當(dāng)t=0時(shí)，k∈R；
②當(dāng)t∈（0，2]時(shí)，k＜

(3-4t)(3-t)

t

恒成立，即k＜4t+

9

t

-15，
∵4t+

9

t

≥12，當(dāng)且僅當(dāng)4t=

9

t

，即t=

3

2

時(shí)取等號(hào)．
∴4t+

9

t

-15的最小值為-3，∴k＜-3．
綜上k的取值范圍是k＜-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．