將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角后,有下列四個結(jié)論:
(1)AC⊥BD                     (2)△ACD是等邊三角形
(3)AB與平面BCD的夾角成60°   (4)AB與CD所成的角為60°
其中正確的命題有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
【答案】分析:根據(jù)已知中正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角,我們以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系,求出ABCD各點(diǎn)坐標(biāo)后,進(jìn)而可以求出相關(guān)直線的方向向量及平面的法向量,然后代入線線夾角,線面夾角公式,及模長公式,分別計算即可得到答案.
解答:解:連接AC與BD交于O點(diǎn),對折后如圖所示,令OC=1
則O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D(0,-1,0)
=(-1,0,1),=(0,-2,0),∵,∴AC⊥BD,故(1)正確;
|,∴△ACD為正三角形,故(2)正確;
為平面BCD的一個法向量,根據(jù)正方形的性質(zhì),易得AB與平面BCD所成角為45°,故(3)錯誤;
=(-1,1,0),=(0,-1,-1),則|cos<,>==,∴AB與CD所成角為60°,故(4)正確;
故正確的命題為:(1)(2)(4)
故選C.
點(diǎn)評:本題以平面圖形的翻折為載體,考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系,根據(jù)已知條件構(gòu)造空間坐標(biāo)系,將空間線線夾角,線面夾角轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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2
π
3
2
π
3

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[  ]

A.

B.

C.

D.

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