Question

點(diǎn)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，、、分別是△PBC、△PCA、△PAB的重

心，求證：

(1)平面∥平面ABC；

(2)＝AB．

Answer 1

答案：
解析：

［探究］由三角形重心易聯(lián)想三角形的中線交點(diǎn)，且交點(diǎn)分中線的比為2∶1，在圖中取AB、BC、CA的中點(diǎn)M、N、Q，連結(jié)后即可證明．　　[證明](1)如圖所示，取AB、BC、CA的中點(diǎn)M、N、Q，連結(jié)PM、PN、PQ、MN、NQ、QM，由、、為△PBC、△PCA、△PAB的重心， 　　∴、、分別在PN、PQ、PM上， 　　且P∶PM＝P∶PN＝P∶PQ＝2∶3． 　　在△PMN中，， 　　∴∥MN．又M、N為△ABC的邊AB、BC的中點(diǎn)， 　　∴MN∥AC． 　　∴∥AC．∴∥平面ABC． 　　同理，∥平面ABC． 　　∴平面∥平面ABC． 　　(2)由(1)知． 　　規(guī)律總結(jié)：利用重心性質(zhì)可得線段成比例，從而可以得到線線平行，由線面平行的判定定理又可推得線面平行，從而最后推得面面平行，要理解并掌握三者之間的緊密聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化．