Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

2

=1焦點在x軸上，左、右頂點分別為A₁、A，上頂點為B，拋物線C₁、C₂分別以A、B為焦點，其頂點均為坐標原點O．C₁與C₂相交于直線y=

2

x上一點P．
（Ⅰ）求橢圓C及拋物線C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）若動直線l與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同兩點M、N，已知點Q(-

2

，0），求

QM

.

QN

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，A（a，0），B(0，

2

)，故拋物線C₁的方程可設(shè)為y²=4ax，C₂的方程為x2=4

2

y．由此能求出橢圓C：

x2

16

+

y2

2

=1，拋物線C₁：y²=16x，拋物線C₂：x2=4

2

y．
（Ⅱ）由直線OP的斜率為

2

，知直線l的斜率為-

2

2

，設(shè)直線l方程為y=-

2

2

x+b，由

x2 16 + y2 2 =1 y=- 2 2 x+b

消去y，整理得5x2-8

2

bx+(8b2-16)=0，再由根的判別式和韋達定理進行求解．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，A（a，0），B(0，

2

)故拋物線C₁的方程可設(shè)為y²=4ax，C₂的方程為x2=4

2

y
則

y2=4ax x2=4 2 y y= 2 x

，得a=4，P(8，8

2

)
所以橢圓C：

x2

16

+

y2

2

=1，拋物線C₁y²=16x：，拋物線C₂：x2=4

2

y
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線OP的斜率為

2

，所以直線l的斜率為-

2

2

，
設(shè)直線l方程為y=-

2

2

x+b
由

x2 16 + y2 2 =1 y=- 2 2 x+b

消去y，整理得5x2-8

2

bx+(8b2-16)=0
因為直線l與橢圓C交于不同兩點，所以△=128b²-20（8b²-16）＞0，
解得-

10

＜b＜

10

設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

8 2 b

5

，x1•x2=

8b2-16

5

y1•y2=(-

2

2

x1+b)•(-

2

2

x2+b)=

1

2

x1•x2-

2 b

2

(x1+x2)+b2=

b2-8

5

因為

QM

=(x1+

2

，y1)，

QN

=(x2+

2

，y2)，
所以

QM

•

QN

=(x1+

2

，y1)•(x2+

2

，y2)=x1x2+

2

(x1+x2)+y1y2+2=

9b2+16b-14

5

因為-

10

＜b＜

10

，所以當b=-

8

9

時，

QM

•

QN

取得最小值，
其最小值等于

9×(- 8 9 )2+16×(- 8 9 )-14

5

=-

38

9

點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．