Question

三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排，

(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的?排法？

(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？

(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？

(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1) ·＝4 320(種)． 　　(2) ·＝14 400(種)． 　　(3) ·＝14 400(種)或－2·＋·＝14 400(種)或·＝14 400(種)． 　　(4) ·＋··＝36 000(種)或－·＝36 000(種)． 　　思路分析：(1)(捆綁法)因?yàn)槿齻�(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合一起共有六個(gè)元素，排成一排有種不同排法．對于其中的每一種排法，三個(gè)女生之間又都有種不同的排法，因此共有·＝4 320(種)不同的排法． 　　(2)(插空法)要保證女生全分開，可先把五個(gè)男生排好，每兩個(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空當(dāng)．這樣共有4個(gè)空當(dāng)，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有六個(gè)位置，再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰．由于五個(gè)男生排成一排有種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)來讓三個(gè)女生插入都有種方法，因此共有·＝14 400(種)不同的排法． 　　(3)方法一：(位置分析法)因?yàn)閮啥瞬荒芘排�生，所以兩端只能挑選5個(gè)男生中的2個(gè)，有種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有·＝14 400(種)不同的排法． 　　方法二：(間接法)3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排共有種不同的排法，從中扣除女生排在首位的·種排法和女生排在末位的·種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時(shí)被扣去一次，在扣除女生排在未位的情況時(shí)又被扣去一次，所以還需加一次回來，由于兩端都是女生有·種不同的排法，所以共有－2·＋·＝14 400種不同的排法． 　　方法三：(元素分析法)從中間6個(gè)位置中挑選出3個(gè)來讓3個(gè)女生排入，有種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余5個(gè)位置又都有種不同的排法，所以共有·＝14 400種不同的排法． 　　(4)方法一：因?yàn)橹灰�求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，則末位就不再受條件限制了，這樣可有·種不同的排法；如果首位排女生，有種排法，這時(shí)末位就只能排男生，有種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有種不同的排法，這樣可有··種不同排法．因此共有·＋··＝36 000種不同的排法． 　　方法二：3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有種排法，從中減去兩端都是女生排法·種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)．因此共有－·＝36 000種不同的排法．

提示：

解決排列、組合應(yīng)用問題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法． 　　若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其他位置，有兩個(gè)以上約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)要兼顧其他條件． 　　若以元素為主，需先滿足特殊元素要求再處理其他的元素． 　　間接法也稱做排除法或排異法，有時(shí)用這種方法解決問題來得簡單、明快． 　　捆綁法、插入法對于有的問題的確是適用的好方法，要認(rèn)真搞清在什么條件下使用．