如圖,幾何體EABCD是四棱錐,△ABD為正三角形,CB=CD,EC⊥BD.

(1)求證:BE=DE;
(2)若∠BCD=120°,M為線段AE的中點(diǎn),求證:DM∥平面BEC.

（1）見(jiàn)解析  （2）見(jiàn)解析

解析證明:(1)如圖所示,取BD的中點(diǎn)O,連接CO,EO.

由于CB=CD,
所以CO⊥BD.
又EC⊥BD,EC∩CO=C,
CO,EC?平面EOC,
所以BD⊥平面EOC,
因此BD⊥EO.
又O為BD的中點(diǎn),
所以BE=DE.
(2)法一　如圖所示,取AB的中點(diǎn)N,連接DM,DN,MN.

因?yàn)镸是AE的中點(diǎn),
所以MN∥BE.
又MN平面BEC,
BE?平面BEC,
所以MN∥平面BEC.
又因?yàn)椤鰽BD為正三角形,
所以∠BDN=30°.
又CB=CD,∠BCD=120°,
因此∠CBD=30°.
所以DN∥BC.
又DN平面BEC,BC?平面BEC,
所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN=N,
所以平面DMN∥平面BEC.
又DM?平面DMN,
所以DM∥平面BEC.
法二　如圖所示,延長(zhǎng)AD,BC交于點(diǎn)F,連接EF.

因?yàn)镃B=CD,∠BCD=120°,
所以∠CBD=30°.
因?yàn)椤鰽BD為正三角形,
所以∠BAD=60°,
∠ABC=90°,
因此∠AFB=30°,
所以AB=AF.
又AB=AD,
所以D為線段AF的中點(diǎn),
連接DM,由點(diǎn)M是線段AE的中點(diǎn),
得DM∥EF.
又DM平面BEC,EF?平面BEC,
所以DM∥平面BEC.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖：在四棱錐中，底面是正方形，，，點(diǎn)在上，且.

（1）求證：平面；   
（2）求二面角的余弦值；
（3）證明：在線段上存在點(diǎn)，使∥平面，并求的長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,在斜三棱柱中,側(cè)面⊥底面,側(cè)棱與底面成60°的角,.底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,其重心為點(diǎn),是線段上一點(diǎn),且.
 
(1)求證://側(cè)面;
(2)求平面與底面所成銳二面角的余弦值;

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形， 且，，是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；
（2）求證：∥平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在直三棱柱中,,，求：

（1）異面直線與所成角的余弦值；
（2）直線到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，D、E分別是BC和的中點(diǎn)，已知AB=AC=AA1=4，ÐBAC=90°.

（1）求證：⊥平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖五面體中,四邊形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點(diǎn).

(1)求證:PQ∥平面BCE;
(2)求證:AM⊥平面ADF.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知如圖①所示，矩形紙片AA′A1′A1，點(diǎn)B、C、B1、C1分別為AA′、A1A1′的三等分點(diǎn)，將矩形紙片沿BB1、CC1折成如圖②形狀(正三棱柱)，若面對(duì)角線AB1⊥BC1，求證：A1C⊥AB1.

(圖①)

(圖②)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M,N分別是B1C1,A1D1,A1B1,BD,B1C的中點(diǎn),

求證:(1)MN∥平面CDD1C1.
(2)平面EBD∥平面FGA.

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