Question

對于函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：
①存在，使；
②存在，使f（x-α）=f（x+α）恒成立；
③存在φ∈R，使函數(shù)f（x+?）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱；
④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對稱；
⑤函數(shù)f（x）的圖象向左平移就能得到y(tǒng)=-2cosx的圖象
其中正確命題的序號是________．

Answer 1

③④
分析：利用輔助角公式，我們可將函數(shù)f（x）的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，由正弦型函數(shù)的值域，可以判斷①的真假；根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性，可以判斷②的真假；根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性，可以判斷③④的真假；根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象的平移變換法則，及誘導(dǎo)公式，可以判斷⑤的真假，進(jìn)而得到答案．
解答：∵=2sin（x+）
當(dāng)時(shí)，α+∈（-，），此時(shí)f（α）∈（-，），故①錯(cuò)誤；
若f（x-α）=f（x+α）恒成立，則2α為函數(shù)的一個(gè)周期，則2α=2kπ，k∈N*，即α=kπ，k∈N*，故②錯(cuò)誤；
存在φ=-+kπ，k∈Z，使函數(shù)f（x+?）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，故③正確；
函數(shù)圖象的對稱軸為x=+kπ，k∈Z，當(dāng)k=-1時(shí)，，故④正確；
函數(shù)f（x）的圖象向左平移后得到y(tǒng)=2sin（x++）=2sin（x+）=2cosx的圖象，故⑤錯(cuò)誤；
故答案為：③④
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的對稱性，熟練掌握函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．