Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁的中點(diǎn)，
（1）求證：AC⊥平面D₁DB；
（2）BD₁∥平面ABC．

Answer 1

分析：（I）正方形ABCD中，可得BD⊥AC，由D₁D⊥平面ABCD證出D₁D⊥AC，再利用線面垂直的判定定理，即可證出AC⊥平面D₁DB．
（II）設(shè)O為底面ABCD的對角線的交點(diǎn)，連結(jié)OE，可得OE是△D₁DB的中位線，得OE∥BD₁．利用線面平行的判定定理即可證出BD₁∥平面AEC．

解答：解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
又∵D₁D⊥平面ABCD，AC?面ABCD，
∴D₁D⊥AC，
∵BD∩D₁D=D，∴AC⊥平面D₁DB．
（Ⅱ）設(shè)O為底面ABCD的對角線的交點(diǎn)，連結(jié)OE
∵O、E分別是BD、DD₁的中點(diǎn)，
∴OE是△D₁DB的中位線，
∴OE∥BD₁．
∵BD₁?平面AEC，DE?平面AEC，
∴BD₁∥平面AEC．

點(diǎn)評：本題在正方體中證明線面垂直和線面平行，著重考查了正方體的性質(zhì)和空間線面垂直、平行位置關(guān)系的判定與證明等知識，屬于中檔題．