Question

設數列{a_n} 的首項為a₁=1，前n項和為S_n，且na_n-S_n=2n（n-1），n∈N*．
（1）求a₂的值及數列{a_n} 的通項公式a_n；
（2）若數列 {b_n} 滿足：4b_n=S_n+n-1+（-1）ⁿ，當n≥2，記En=

22

b2

+

33

b3

+

42

b4

+…+

n2

bn

．
①計算E₉的值；
②求

lim

n→∞

(2n-En)的值．

Answer 1

分析：（1）由題意數列{a_n} 的首項為a₁=1，前n項和為S_n，且na_n-S_n=2n（n-1），利用數列的前n項和求出通項即可；
（2）①有數列 {b_n} 滿足：4b_n=S_n+n-1+（-1）ⁿ，先推導出

n2

bn

通項公式，②并對該式子分奇偶進行討論求出2n-En=

22

b2

+

33

b3

+

42

b4

+…+

n2

bn

，并有導出

n2

bn

的通項公式代入，再利用數列的極限求得．

解答：解：（1）因為有已知：na_n-S_n=2n（n-1），a₂=5，
     當n≥2時，（n-1）a_n-1-S_n-1=2（n-1）（n-2），
∴na_n-（n-1）a_n-1-S_n+S_n-1=2n（n-1）-2（n-1）（n-2），
    即（n-1）（a_n-a_n-1）=4（n-1）（n≥2），∴a_n-a_n-1=4（n≥2），
    故數列{a_n}是公差為4的等差數列，
∴a_n=4n-3（n∈N⁺）；
（2）由于數列 {b_n} 滿足：4b_n=S_n+n-1+（-1）ⁿ，
∴4b_n=2n²-1+（-1）ⁿ（n∈N⁺），∴bn=

2n2-1+(-1)n

4

，
故b1=0，

n2

bn

=

4n2

2n2-1+(-1)n

(n≥2，n∈N+)，
當n為大于0的偶數時，

n2

bn

=

4n2

2n2

=2，
當n為大于1的奇數時，

n2

bn

=

4n2

2n2-2

=

2n2

n2-1

=2+

1

n-1

-

1

n+1

，
∴E₉=（b₁+b₃+b₅+b₇+b₉）+（b₂+b₄+b₆+b₈）=8+8+

1

3-1

-

1

9+1

=

82

5

當n＞1，且n∈N⁺時，若n為偶數，則2n-En=2n-[2×

n

2

+2(

n

2

-1)+

1

2

-

1

n

]=

3

2

+

1

n

，
                       若n為大于1的奇數，則2n-En=2n-[2×(

n-1

2

)+2(

n-1

2

)+

1

2

-

1

n+1

]=

3

2

+

1

n+1

，
∴2n-En=

3

2

+

2

2n+1-(-1)n

  
∴

lim

n→∞

(2n-En)=

lim

n→∞

[

3

2

+

2

2n+1-(-1)n

]=

3

2

．

點評：此題考查了學生的分類討論的能力及嚴謹的邏輯推導能力，還考查了已知數列的前n項的和求數列的通項，數列的極限．