Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓

x2

a2

+y2=1(a＞1)上，其中A（0，1）為直角頂點(diǎn)．若該三角形的面積的最大值為

27

8

，則實(shí)數(shù)a的值為

3

．

Answer 1

分析：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+1，（k≠0）．將直線(xiàn)AB方程與橢圓消去y，解得B的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)之間距離公式，可以算出AB長(zhǎng)關(guān)于a、k的表達(dá)式，同理可得AC長(zhǎng)關(guān)于a、k的表達(dá)式，從而得到Rt△ABC的面積S關(guān)于a、k的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式進(jìn)行討論，可得△ABC的面積S的最大值為

a4

a(a2-1)

，最后結(jié)合題意解關(guān)于a的方程，即可得到實(shí)數(shù)a的值．

解答：解：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+1則直線(xiàn)AC的方程可設(shè)為y=-

1

k

x+1，（k≠0）
由

y=kx+1 x2 a2 +y2=1

消去y，得（1+a²k²）x²+2a²kx=0，所以x=0或x=

-2a2k

1+a2k2

∵A的坐標(biāo)（0，1），
∴B的坐標(biāo)為（

-2a2k

1+a2k2

，k•

-2a2k

1+a2k2

+1），即B（

-2a2k

1+a2k2

，

1-a2k2

1+a2k2

）
因此，AB=

(0- -2a2k 1+a2k2 )2+(1- 1-a2k2 1+a2k2 )2

=

1+k2

•

|2a2k|

1+a2k2

，
同理可得：AC=

1+ 1 k2

•

| 2a2 k |

1+ a2 k2

∴Rt△ABC的面積為S=

1

2

AB•AC=

2+k2+ 1 k2

•

2a4

1+a4+a2(k2+ 1 k2 )

=

2a4|k+ 1 k |

1+a4+a2(k2+ 1 k2 )

令t=|k+

1

k

|，得S=

2a4t

1+a4+a2(t2-2)

=

2a4

(a2-1)2 t +a2t

∵t=|k+

1

k

|≥2，∴S_△ABC≤

2a4

2 (a2-1)2 t ×a2t

=

a4

a(a2-1)

當(dāng)且僅當(dāng)

a2-1

t

=a

t

，即t=

a2-1

a

時(shí)，△ABC的面積S有最大值為

a4

a(a2-1)

=

27

8

解之得a=3或a=

3+ 297

16

∵a=

3+ 297

16

時(shí)，t=

a2-1

a

＜2不符合題意，
∴a=3
故答案為：3

點(diǎn)評(píng)：本題在橢圓上求內(nèi)接直角三角形面積的最大值問(wèn)題，著重考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和利用基本不等式討論函數(shù)的最值等知識(shí)，屬于中檔題．