Question

若曲線f（x）=x²（x＞0）在點(diǎn)（a，f（a））處的切線與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為54，則a=（　�。�

• A、3
• B、6
• C、9
• D、18

Answer 1

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，然后求切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積公式求a即可．

解答：解：∵f（x）=x²（x＞0），
∴f'（x）=2x，
∴在點(diǎn)（a，f（a））處的切線斜率k=f'（a）=2a，（a＞0）．
且f（a）=a²，
∴切線方程為y-a²=2a（x-a），即y=2ax-a²，
令x=0，則y=-a²，
令y=0，則x=

a

2

，即切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-a²），（

a

2

，0），
∴三角形的面積為

1

2

×

a

2

×a2=

a3

4

=54，
即a³=4×54=216=6³，
∴a=6．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算．