Question

已知球O的半徑為2

3

，點(diǎn)A為球面上的點(diǎn)，過A作球O的截面圓O₁，設(shè)圓O₁的周長為x，球心O到截面圓O₁的距離為y，當(dāng)xy的值最大時(shí)，圓O₁的面積是

6π

．

Answer 1

分析：在小圓O₁中，設(shè)過A的直徑為AB，連接OA、OO₁，設(shè)圓O₁的半徑為r，根據(jù)圓周長公式和球的截面圓性質(zhì)建立關(guān)于x、y、r的方程組，消去r得

x2

4π2

+y²=12，再結(jié)合基本不等式可得當(dāng)y=

x

2π

時(shí)，xy有最大值12π，由此算出r=

6

，即得圓O₁的面積．

解答：解：在小圓O₁中，設(shè)過A的直徑為AB，連接OA、OO₁，
設(shè)圓O₁的半徑為r，得：

2πr=x r2+y2=(2 3 )2

，
消去r，得

x2

4π2

+y²=12
∵

x2

4π2

+y²≥2•

x

2π

•y=

xy

π

∴

xy

π

≤12，得xy≤12π．當(dāng)且僅當(dāng)

x2

4π2

=y²，即y=

x

2π

時(shí)，xy有最大值12π
此時(shí)圓O₁的半徑r=

x

2π

=

6

，得圓O₁的面積是π•(

6

)2=6π
故答案為：6π

點(diǎn)評：本題給出球的半徑R，求經(jīng)過某點(diǎn)滿足特殊條件的球小圓的面積，著重考查了球的截面圓性質(zhì)和基本不等式等知識，屬于基礎(chǔ)題．