Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、BC的中點．
（Ⅰ）求證：PA⊥EF；
（Ⅱ）求證：FG∥平面PAB．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由于EF∥CD，要證明PA⊥EF，只要證CD⊥PA，結(jié)合已知，PD⊥平面ABCD，可得CD⊥PD．由ABCD為正方形，可得CD⊥AD．則可得CD⊥平面PAD可證
（Ⅱ）（法一）利用線面平行的判定定理，要證FG∥平面PAB．只要證明FG平行于平面PAB內(nèi)的一條直線，結(jié)合題目特點考慮取PA的中點H，則由中位線的性質(zhì)可知四邊形FHBG是平行四邊形．從而可得FG∥HB
（法二）利用面面平行的性質(zhì)，要證FG∥平面PAB．只要證明平面EFG∥平面PAB即可
解答：證明：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PD．
又ABCD為正方形，
∴CD⊥AD．
∵PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD．-----------（3分）
∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA．
∵EF∥CD，
∴PA⊥EF．----------（6分）
（Ⅱ）取PA的中點H，連接FH，HB，
∵F，H，G分別是PD，PA，BC的中點，且ABCD為正方形，
∴FH∥AD，BG∥AD，
且FH=AD，BG=AD
∴FH∥BG，且FH=BG．
∴四邊形FHBG是平行四邊形．
∴FG∥HB．----------（10分）
又∵FG在平面PAB外，HB?平面PAB．
∴FG∥平面PAB．----------（12分）
（法二）∵F，H，G分別是PD，PA，BC的中點，且ABCD為正方形，
∴EF∥AB，EG∥PB，
由線面平行的判定定理可知，EF∥平面PAB，EG∥平面PAB
∵EF∩EG=E
∴根據(jù)平面與平面平行的判定定理可得，平面EFG∥平面PAB
∵FG⊆平面EFG
∴FG∥平面PAB．
點評：本題 主要考查了線面垂直，線面平行與線線垂直、線線平行的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用，證明線面垂直關(guān)鍵是證明直線與面內(nèi)的兩條相交直線垂直；證明線面平行關(guān)鍵是證明已知直線與面內(nèi)一條直線平行即可