Question

己知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，不等式所表示的平面區(qū)域的面積為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左項(xiàng)點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，圓M過(guò)A、B兩點(diǎn)．當(dāng)圓心M與原點(diǎn)O的距離最小時(shí)，求圓M的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓C的離心率為，可得a=b，根據(jù)不等式所表示的平面區(qū)域的面積為，可得，由此可求得a，b的值，從而可得橢圓C的方程；
（2）確定AB的垂直平分線L的方程，當(dāng)圓心M與原點(diǎn)O的距離最小時(shí)，OM⊥L，可得OM的方程，聯(lián)立可得M的坐標(biāo)與圓的半徑，從而可得圓M的方程．
解答：解：（1）∵橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，∴
∴a=b①
根據(jù)對(duì)稱性，可得不等式所表示的平面區(qū)域是橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的菱形
∵不等式所表示的平面區(qū)域的面積為．
∴②
由①②解得a=4，b=2
∴橢圓C的方程為；
（2）由題意，A（-4，0），B（0，2），可得AB的垂直平分線L的方程為：=0
點(diǎn)M在L上，當(dāng)圓心M與原點(diǎn)O的距離最小時(shí)，OM⊥L，可得OM的方程為：
解方程組得x=-，y=-
∴M（），此時(shí)
∴圓M的方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓的方程，確定圓的圓心與半徑是關(guān)鍵．