Question

已知函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）≥0的解集為{x|-2≤x≤3}，且f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值是4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x+5-f（x），若對任意的，均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f（x）≥0解集為{x|-2≤x≤3}，可設(shè)f（x）=a（x+2）（x-3）=a（x²-x-6），且a＜0
對稱軸，開口向下，f（x）_min=f（-1）=-4a=4，解得a=-1，f（x）=-x²+x+6；…
（Ⅱ）g（x）=x+5+x²-x-6=x²-1，恒成立
即對恒成立
化簡，即對恒成立…
令，記，則y=-3t²-2t+1，
二次函數(shù)開口向下，對稱軸為，當(dāng)時，
故…
所以（3m²+1）（4m²-3）≥0，解得或…
分析：（Ⅰ）由f（x）≥0解集為{x|-2≤x≤3}，設(shè)出函數(shù)解析式，利用f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值是4，即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）g（x）=x+5+x²-x-6=x²-1，恒成立，等價于對恒成立，求出右邊的最小值，可得關(guān)于m的不等式，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸的能力，屬于中檔題．