設(shè)a,b,c是直角△ABC的三條邊的邊長(zhǎng),c是斜邊,整數(shù)n≥3,求證:an+bn<cn

 

答案：
解析：

　　分析:在直角三角形ABC中,有,于是證不等式an+bn<cn,就變?yōu)樽C明sinnA+cosnA<1.

　　解:在Rt△ABC中,A為銳角,,

　　如圖,A為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)角A的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),過(guò)P作x軸的垂線,M為垂足,則MP=y,OM=x,|OP|=r=1,顯然有0＜x＜1,0＜y＜1且0＜sinA＜1且0＜cosA＜1.

　　又∵OM2+MP2=OP2,∴sin2A+cos2A=1.

　　又由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得,當(dāng)n≥3時(shí),sinnA<sin2A,cosnA<cos2A．

　　∴sinnA+cosnA<sin2A+cos2A=1

　　即.　　　　 

　　

 


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設(shè)M是△ABC中任意一點(diǎn)，且
AB
•
MC
=2
3
+
AB
•
MA
，∠BAC=30°，定義f（P）=（m，n，p），其中m、n、p分別表示△MBC、△MCA、△MAB的面積，若f(Q)=(
1
2
，x，y)，則在平面直坐標(biāo)系中點(diǎn)（x，y）的軌跡是（　�。�

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