Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=1，AA₁=2，D、E分別是AA₁、B₁C的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求異面直線A₁C₁與B₁D所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角C-B₁D-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)G為BC的中點(diǎn)，連接EG，AG，因BG=GC，B₁E=EC，則EG∥BB₁，且，又AD∥BB₁，且，則EG∥AD，EG=AD，從而得到四邊形ADEG為平行四邊形，則DE∥AG，又AG?平面ABC，DE?平面ABC，根據(jù)線面平行的判定定理可知DE∥平面ABC．
（Ⅱ）設(shè)F為BB₁的中點(diǎn)，連接AF，CF，根據(jù)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，且D是AA₁的中點(diǎn)，則AF∥B₁D，A₁C₁∥AC，從而∠CAF為異面直線A₁C₁與B₁D所成的角或其補(bǔ)角．在Rt△ABF中，求出AF、CF，在△ABC中，求出AC，在△ACF中，即可求出∠CAF；
（Ⅲ）根據(jù)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，則B₁B⊥BC，又AB⊥BC，AB∩BB₁=B，根據(jù)線面垂直的判定定理可知BC⊥平面ABB₁D，連接BD，在△BB₁D中BD²+B₁D²=BB₁²，根據(jù)勾股定理可知BD⊥B₁D，根據(jù)BD是CD在平面ABB₁D內(nèi)的射影，則CD⊥B₁D，從而∠CDB為二面角C-B₁D-B的平面角，在△BCD中求出此角即可．
解答：（Ⅰ）證明：如圖，設(shè)G為BC的中點(diǎn)，連接EG，AG，
在△BCB₁中，∵BG=GC，B₁E=EC，∴EG∥BB₁，且，
又AD∥BB₁，且，∴EG∥AD，EG=AD，
∴四邊形ADEG為平行四邊形，∴DE∥AG，
又AG?平面ABC，DE?平面ABC，∴DE∥平面ABC．

（Ⅱ）解：如圖，設(shè)F為BB₁的中點(diǎn)，連接AF，CF，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，且D是AA₁的中點(diǎn)，
∴AF∥B₁D，A₁C₁∥AC，∴∠CAF為異面直線A₁C₁與B₁D所成的角或其補(bǔ)角．
在Rt△ABF中，BF⊥AB，AB=1，BF=1，
∴，同理，
在△ABC中，∵AB⊥BC，AB=BC=1，∴，
在△ACF中，∵AC=AF=CF，∴∠CAF=60°．
∴異面直線A₁C₁與B₁D所成的角為60°．

（Ⅲ）解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴B₁B⊥BC，
又AB⊥BC，AB∩BB₁=B，∴BC⊥平面ABB₁D．
如圖，連接BD，
在△BB₁D中，∵，
∴BD²+B₁D²=BB₁²，即BD⊥B₁D，
∵BD是CD在平面ABB₁D內(nèi)的射影，
∴CD⊥B₁D，∴∠CDB為二面角C-B₁D-B的平面角．
在△BCD中，∠CBD=90°，BC=1，，
∴，∴二面角C-B₁D-B的大小為．
點(diǎn)評：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點(diǎn)）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α⇒a∥β）；④利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?α，a?，a∥α⇒?a∥β）．
求二面角，關(guān)鍵是構(gòu)造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂線定理和通過求法向量的夾角，然后再將其轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．