Question

如圖，橢圓的焦點在x軸上，左右頂點分別為，上頂點為B，拋物線分別以A,B為焦點，其頂點均為坐標原點O，與相交于直線上一點P.

（1）求橢圓C及拋物線的方程；

（2）若動直線與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同的兩點M,N，已知點，求的最小值．

 

 

Answer 1

（1）橢圓C:，拋物線C1：拋物線C2：；（2）.

【解析】

試題分析：(1)由題意可得A（a，0），B（0，），而拋物線C1，C2分別是以A、B為焦點，∴可求得C2的解析式：，設C1的解析式為，再由C1與C2的交點在直線y=x上，；(2)直線OP的斜率為，所以直線的斜率為，設直線方程為，

設M（）、N（），將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用解析幾何中處理直線與圓錐曲線中常用的“設而不求”思想，可以得到,結合韋達定理，即可得到的最值.

（1）由題意可得A（a，0），B（0，），故拋物線C1的方程可設為，C2的方程為 1分

由 得 3分

∴橢圓C:，拋物線C1：拋物線C2： 5分； （2）由（1）知，直線OP的斜率為，所以直線的斜率為，設直線方程為

由，整理得

設M（）、N（），則 7分

因為動直線與橢圓C交于不同兩點，所以

解得 8分

，

∵，

∴ 11分

∵，所以當時，取得最小值，

其最小值等于 13分

考點：1、圓錐曲線解析式的求解；2、直線與橢圓相交綜合.