【題目】已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時,證明:對;
(2)若函數(shù)在上存在極值,求實數(shù)的取值范圍。
【答案】(1)見證明;(2)
【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性,進而求得函數(shù)的最小值,得到要證明的結(jié)論;
(2)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解,法一:對a分類討論,分別研究a的不同取值下,導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及值域,從而得到結(jié)論.法二:構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域,再利用零點存在定理說明函數(shù)存在極值.
(1)當(dāng)時,,于是,.
又因為,當(dāng)時,且.
故當(dāng)時,,即.
所以,函數(shù)為上的增函數(shù),于是,.
因此,對,;
(2) 方法一:由題意在上存在極值,則在上存在零點,
①當(dāng)時,為上的增函數(shù),
注意到,,
所以,存在唯一實數(shù),使得成立.
于是,當(dāng)時,,為上的減函數(shù);
當(dāng)時,,為上的增函數(shù);
所以為函數(shù)的極小值點;
②當(dāng)時,在上成立,
所以在上單調(diào)遞增,所以在上沒有極值;
③當(dāng)時,在上成立,
所以在上單調(diào)遞減,所以在上沒有極值,
綜上所述,使在上存在極值的的取值范圍是.
方法二:由題意,函數(shù)在上存在極值,則在上存在零點.
即在上存在零點.
設(shè),,則由單調(diào)性的性質(zhì)可得為上的減函數(shù).
即的值域為,所以,當(dāng)實數(shù)時,在上存在零點.
下面證明,當(dāng)時,函數(shù)在上存在極值.
事實上,當(dāng)時,為上的增函數(shù),
注意到,,所以,存在唯一實數(shù),
使得成立.于是,當(dāng)時,,為上的減函數(shù);
當(dāng)時,,為上的增函數(shù);
即為函數(shù)的極小值點.
綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)在上存在極值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等差數(shù)列首項和公差都是,記的前n項和為,等比數(shù)列各項均為正數(shù),公比為q,記的前n項和為:
(1)寫出構(gòu)成的集合A;
(2)若將中的整數(shù)項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列,求的一個通項公式;
(3)若q為正整數(shù),問是否存在大于1的正整數(shù)k,使得同時為(1)中集合A的元素?若存在,寫出所有符合條件的的通項公式,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
若曲線在點處的切線平行于軸,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
若時,總有,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在數(shù)學(xué)中,布勞威爾不動點定理是拓撲學(xué)里一個非常重要的不動點定理,它可應(yīng)用到有限維空間,并構(gòu)成一般不動點定理的基石.布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾(L.E. J. Brouwer),簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù),存在一個點,使得,那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù),下列為“不動點”函數(shù)的是( )
A.B.
C.D.
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【題目】某工廠在2016年的“減員增效”中對部分人員實行分流,規(guī)定分流人員第一年可以到原單位領(lǐng)取工資的100%,從第二年起,以后每年只能在原單位按上一年的領(lǐng)取工資,該廠根據(jù)分流人員的技術(shù)特長,計劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟實體,該經(jīng)濟實體預(yù)計第一年屬投資階段,第二年每人可獲得元收入,從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎(chǔ)上遞增50%,如果某人分流后工資的收入每年元,分流后進入新經(jīng)濟實體,第年的收入為元;
(1)求的通項公式;
(2)當(dāng)時,是否一定可以保證這個人分流一年后的收入永遠超過分流前的年收入?
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【題目】如圖,在五面體中,四邊形為矩形,為等邊三角形,且平面平面.
(1)證明:平面平面;
(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】中國武漢于2019年10月18日至2019年10月27日成功舉辦了第七屆世界軍人運動會.來自109個國家的9300余名運動員同臺競技.經(jīng)過激烈的角逐,獎牌榜的前3名如下:
國家 | 金牌 | 銀牌 | 銅牌 | 獎牌總數(shù) |
中國 | 133 | 64 | 42 | 239 |
俄羅斯 | 51 | 53 | 57 | 161 |
巴西 | 21 | 31 | 36 | 88 |
某數(shù)學(xué)愛好者采用分層抽樣的方式,從中國和巴西獲得金牌選手中抽取了22名獲獎代表.從這22名中隨機抽取3人, 則這3人中中國選手恰好1人的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】2019年北京市百項疏堵工程基本完成.有關(guān)部門為了解疏堵工程完成前后早高峰時段公交車運行情況,調(diào)取某路公交車早高峰時段全程所用時間(單位:分鐘)的數(shù)據(jù),從疏堵工程完成前的數(shù)據(jù)中隨機抽取5個數(shù)據(jù),記為A組,從疏堵工程完成后的數(shù)據(jù)中隨機抽取5個數(shù)據(jù),記為B組.
A組:128,100,151,125,120
B組:100,102,96,101,
己知B組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為100,且從中隨機抽取一個數(shù)不小于100的概率是.
(1)求a的值;
(2)該路公交車全程所用時間不超過100分鐘,稱為“正點運行”從A,B兩組數(shù)據(jù)中各隨機抽取一個數(shù)據(jù),記兩次運行中正點運行的次數(shù)為X,求X的分布列及期望;
(3)試比較A,B兩組數(shù)據(jù)方差的大。ú灰笥嬎悖⒄f明其實際意義.
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