Question

已知函數(shù)f（x）=

ax-a-x

ax+a-x

（a＞0，a≠1）
（1）判定函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判定函數(shù)f（x）的單調(diào)性并證明你的結論．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判定函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行判定函數(shù)f（x）的單調(diào)性并證明．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域為R，
則f（-x）=

a-x-ax

a-x+ax

=-

ax-a-x

ax+a-x

=-f（x），
即f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

a-x1-ax1

a-x1+ax1

-

a-x2-ax2

a-x2+ax2

=

(a-x1-ax1)(a-x2+ax2)-(a-x2-ax2)(a-x1+ax1)

(a-x1+ax1)(a-x2+ax2)

=

2(a2x1-a2x2)

(a2x1+1)(a2x2+1)

，
若a＞1，則a2x1＜a2x2，則f（x₁）＜f（x₂），此時函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，
若0＜a＜1，則a2x1＞a2x2，則f（x₁）＞f（x₂），此時函數(shù)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關鍵．