Question

【題目】在無窮數(shù)列{an}中，a1=p是正整數(shù)，且滿足 （Ⅰ）當(dāng)a3=9時，給出p的值；（結(jié)論不要求證明）
（Ⅱ）設(shè)p=7，數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 求S150；
（Ⅲ）如果存在m∈N* ， 使得am=1，求出符合條件的p的所有值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）p=36，或13．

（Ⅱ）由題意，a1=7，

代入，得a2=12，a3=6，a4=3，a5=8，a6=4，a7=2，a8=1，a9=6，…

所以數(shù)列{an}中的項，從第三項起每隔6項重復(fù)一次（注：a3=a9），

故S150=a1+a2+24（a3+a4+…+a8）+a3+a4+a5+a6

=7+12+24（6+3+8+4+2+1）+6+3+8+4=616．

（Ⅲ）由數(shù)列{an}的定義，知 ．

設(shè)t為數(shù)列{an}中最小的數(shù)，即 ，

又因為當(dāng)an為偶數(shù)時， ，

所以t必為奇數(shù)．

設(shè)ak=t，則ak+1=t+5， ，

所以 ，解得t≤5．

所以t∈{1，3，5}．

如果ak=t=3，

那么由數(shù)列{an}的定義，得ak+1=8，ak+2=4，ak+3=2，ak+4=1，

這顯然與t=3為{an}中最小的數(shù)矛盾，

所以t≠3．

如果ak=t=5，

當(dāng)k=1時，p=5；

當(dāng)k≥2時，由數(shù)列{an}的定義，得ak﹣1能被5整除，…，得a1=p被5整除；

所以當(dāng)且僅當(dāng) 時，t=5．

這與題意不符．

所以當(dāng) 時，數(shù)列{an}中最小的數(shù)t=1，

即符合條件的p值的集合是{r|r∈N*，且r不能被5整除}．

【解析】（Ⅰ）由分段數(shù)列，推斷計算即可得到所求p的值；（Ⅱ）由題意可得數(shù)列{an}中的項，從第三項起每隔6項重復(fù)一次，即可得到所求和；（Ⅲ）由數(shù)列{an}的定義，知 ．設(shè)t為數(shù)列{an}中最小的數(shù)，即 ，推得t∈{1，3，5}．分別討論t=3，5，1，推理，即可得到符合條件的p值的集合．
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識點，需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題．