Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD．

已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝，SA＝SB＝．

(Ⅰ)證明SA⊥BC；

(Ⅱ)求直線SD與平面SAB所成角的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)作SO⊥BC，垂足為O，連結(jié)AO，由側(cè)面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD 　　因?yàn)镾A＝SB，所以AO＝BO 　　又∠ABC＝45° 　　故△AOB為等腰直角三角形，AO⊥BO 　　由三垂線定理，得SA⊥BC　　6分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC，依題設(shè)AD//BC 　　故SA⊥AD，由AD＝BC＝，SA＝，AO＝ 　　得SO＝1，SD＝ 　　△SAB的面積 　　連結(jié)DB，得△DAB的面積 　　設(shè)D到平面SAB的距離為h 　　由 　　得 　　解得 　　設(shè)SD與平面SAB所成角為α 　　則 　　所以，直線SD與平面SAB所成的角為　　12分 　　解法二：(I)作SO⊥BC，垂足為O，連結(jié)AO 　　由側(cè)面SBC⊥底面ABCD 　　得SO⊥平面ABCD 　　因?yàn)镾A＝SB，所以AO＝BO 　　又∠ABC＝45° 　　△AOB為等腰直角三角形，AO⊥OB 　　如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn) 　　OA為x軸正向 　　建立直角坐標(biāo)系 　　 　　 　　所以SA⊥BC　　6分 　　(Ⅱ)取AB中點(diǎn)E， 　　連結(jié)SE，取SE中點(diǎn)G，連OG， 　　 　　OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線SE、AB垂直 　　所以O(shè)G⊥平面SAB 　　設(shè)OG與的夾角為α 　　SD與平面SAB所在的角為β 　　則α與β互余 　　 　　 　　所以，直線SD與平面SAB所成的角為　　12分