四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面SBC⊥底面ABCD.
已知∠ABC=45°,AB=2,BC=,SA=SB=.
(Ⅰ)證明SA⊥BC;
(Ⅱ)求直線SD與平面SAB所成角的大。
解法一:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足為O,連結(jié)AO,由側(cè)面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD 因?yàn)镾A=SB,所以AO=BO 又∠ABC=45° 故△AOB為等腰直角三角形,AO⊥BO 由三垂線定理,得SA⊥BC 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,依題設(shè)AD//BC 故SA⊥AD,由AD=BC=,SA=,AO= 得SO=1,SD= △SAB的面積 連結(jié)DB,得△DAB的面積 設(shè)D到平面SAB的距離為h 由 得 解得 設(shè)SD與平面SAB所成角為α 則 所以,直線SD與平面SAB所成的角為 12分 解法二:(I)作SO⊥BC,垂足為O,連結(jié)AO 由側(cè)面SBC⊥底面ABCD 得SO⊥平面ABCD 因?yàn)镾A=SB,所以AO=BO 又∠ABC=45° △AOB為等腰直角三角形,AO⊥OB 如圖所示,以O(shè)為原點(diǎn) OA為x軸正向 建立直角坐標(biāo)系
所以SA⊥BC 6分 (Ⅱ)取AB中點(diǎn)E, 連結(jié)SE,取SE中點(diǎn)G,連OG,
OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線SE、AB垂直 所以O(shè)G⊥平面SAB 設(shè)OG與的夾角為α SD與平面SAB所在的角為β 則α與β互余
所以,直線SD與平面SAB所成的角為 12分 |
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