Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+3bx
（1）若a=1，b=0，求f'（2）的值；
（2）若f（x）的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(diǎn)（1，-11），求a，b的值；
（3）在（2）的條件下，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，代入相應(yīng)的值，可得f'（2）的值；
（2）利用f（x）的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(diǎn)（1，-11），建立方程組，即可求a，b的值；
（3）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）求導(dǎo)數(shù)得f'（x）=3x²-6ax+3b，…（3分）
當(dāng)a=1，b=0時(shí)，f'（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴f'（2）=0…（4分）
（2）由于f（x）的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(diǎn)（1，-11），
所以

f(1)=-11 f′(1)=-12

…（6分）
即

1-3a+3b=-11 3-6a+3b=-12

，解得a=1，b=-3…（9分）
（3）由a=1，b=-3得：f'（x）=3x²-6ax+3b=3（x²-2x-3）=3（x+1）（x-3）…（10分）
由f'（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；由f'（x）＜0，解得-1＜x＜3．--------------------（13分）
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1），（3，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，3）上單調(diào)遞減．---（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)、函數(shù)解析式、函數(shù)極值、函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間等知識(shí)，考查待定系數(shù)、化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法，綜合運(yùn)用能力和運(yùn)算求解能力．