Question

如圖，過(guò)點(diǎn)P（2，4） 作兩條互相垂直的直線l₁ 、l₂ ，若l₁ 交x 軸于點(diǎn)A ，l₂ 交y 軸于點(diǎn)B ，求線段AB 的中點(diǎn)M 的軌跡方程.

Answer 1

解：設(shè)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為(x ，y) ，  
∵M(jìn) 為線段AB 的中點(diǎn)，  
∴A 的坐標(biāo)為（2x ，0 ），B 的坐標(biāo)為（0，2y）
∵l₁ ⊥l₂ ，且l₁ 、l₂ 過(guò)點(diǎn)P（2，4） ，  
∴PA ⊥PB ，k_PA ·k_PB=-1.
而
∴（x≠1）
整理，得x+2y-5 =0 （x ≠1 ）．
∵當(dāng)x=1 時(shí)，A 、B 的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，4），
∴線段AB 的中點(diǎn)M 的坐標(biāo)是（1，2） ，它滿足方程x+2y-5=0 ．
綜上所述，線段AB 的中點(diǎn)M 的軌跡方程為x+2y-5=0.