Question

已知函數(shù)f（x）=（其中a為常數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ） 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的3個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃．證明：x₁+x₃＞．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)不等式求單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)f（x）的3個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，x₃，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性去判斷．
解答：解：（Ⅰ） 
令f'（x）=0可得．列表如下：

x	（0，1）
f'（x）	-	-		+
f（x）	減	減	極小值	增

單調(diào)減區(qū)間為（0，1），；增區(qū)間為．------------（5分）
（Ⅱ）由題，
對(duì)于函數(shù)，有
∴函數(shù)h（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
∵函數(shù)f（x）有3個(gè)極值點(diǎn)x₁＜x₂＜x₃，
從而，所以，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，h（a）=2lna＜0，h（1）=a-1＜0，
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間有（x₁，a）和（x₃，+∞），遞減區(qū)間有（0，x₁），（a，1），（1，x₃），
此時(shí)，函數(shù)f（x）有3個(gè)極值點(diǎn)，且x₂=a；
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x₁，x₃是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，----（9分）
即有，消去a有2x₁lnx₁-x₁=2x₃lnx₃-x₃
令g（x）=2xlnx-x，g'（x）=2lnx+1有零點(diǎn)，且
∴函數(shù)g（x）=2xlnx-x在上遞減，在上遞增
要證明    ??
因?yàn)間（x₁）=g（x₃），所以即證
構(gòu)造函數(shù)，則
只需要證明單調(diào)遞減即可．而，，所F'（x）在上單調(diào)遞增，
所以．
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，．--------（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．