Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為S_n，試比較S_n與4的大小關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，聯(lián)立方程求得d和q，進(jìn)而可得{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式由等差和等比數(shù)列構(gòu)成，進(jìn)而可用錯(cuò)位相減法求得前n項(xiàng)和S_n．利用作差法比較S_n與4的大小關(guān)系．
解答：解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意有q＞0且
解得d=2，q=2．
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1．
（2）．
，①
∴，②
②-①得
=
=
=．
S_n-4=，
由S_n-4＜0得出2ⁿ＜2n+3，解得n=1，2，3，
由S_n-4＞0得出2ⁿ＞2n+3，解得n=4，5，6，…．
所以當(dāng)n≤3時(shí)S_n＜4，當(dāng)n≥4時(shí)S_n＞4．
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相消法求和．不等關(guān)系的比較．考查計(jì)算能力．