Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=3a_n-4n，n=1，2，3，…
（Ⅰ）計算a₂，a₃，a₄的值，
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，猜想的通{a_n}項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明．

Answer 1

（本小題滿分9分）
（Ⅰ）由已知a₁=3，a_n+1=3a_n-4n，
可得，n=1時，a₂=9-4=5；n=2時，a₃=15-8=7；
n=3時，a₄=21-12=9．…（3分）
（Ⅱ）猜想 a_n=2n+1．…（4分）
證明：①當n=1時，由已知，左邊=3，右邊=2×1+1=3，猜想成立．
…（6分）
②假設(shè)當n=k（k∈N^*）時猜想成立，即a_k=2k+1．…（7分）
則n=k+1時，a_k+1=3a_k-4k=3（2k+1）-4k=2k+=2（k+1）+1．
所以 當n=k+1時，猜想也成立．
根據(jù) ①和 ②，可知猜想對于任何n∈N^*都成立．…（9分）