Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線交于點(diǎn)M,N，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ； (Ⅱ)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

試題分析：（I）解：因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-1）

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）

由題意得

化簡(jiǎn)得

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

（Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

則直線的方程式為，直線的方程式為

令得            6分

于是的面積 

             7分

又直線AB的方程為

點(diǎn)P到直線AB的距離                8分

于是的面積            9分

當(dāng)時(shí)，得          10分

又，所以，解得         12分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080412103101191990/SYS201308041211071825350649_DA.files/image025.png">，所以。              13分

故存在點(diǎn)使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為          14分

考點(diǎn)：軌跡方程是求法；直線與雙曲線的綜合應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：求軌跡方程的基本步驟：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)P（x，y）是軌跡上的任意一點(diǎn)；

②尋找動(dòng)點(diǎn)P（x，y）所滿足的條件；③用坐標(biāo)（x，y）表示條件，列出方程f（x，y）=0；④化簡(jiǎn)方程f（x，y）=0為最簡(jiǎn)形式；⑤證明所得方程即為所求的軌跡方程，注意驗(yàn)證。