Question

 （本小題共l2分）

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，延長A₁C₁至點P，使C₁P＝A₁C₁，連接AP交棱CC₁于D．

（Ⅰ）求證：PB₁∥平面BDA₁；

（Ⅱ）求二面角A－A₁D－B的平面角的余弦值；

 

 

Answer 1

【答案】

 本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、線面關(guān)系、二面角等基本知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識解決問題的能力．

解法一：

（Ⅰ）連結(jié)AB₁與BA₁交于點O，連結(jié)OD，

∵C₁D∥平面AA₁，A₁C₁∥AP，∴AD=PD，又AO=B₁O，

∴OD∥PB₁，又ODÌ面BDA₁，PB₁Ë面BDA₁，

∴PB₁∥平面BDA₁．

（Ⅱ）過A作AE⊥DA₁于點E，連結(jié)BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA₁，且AA₁∩AC=A，

∴BA⊥平面AA₁C₁C．由三垂線定理可知BE⊥DA₁．

∴∠BEA為二面角A－A₁D－B的平面角．

在Rt△A₁C₁D中，，

又，∴．

在Rt△BAE中，，∴．

故二面角A－A₁D－B的平面角的余弦值為．

解法二：

如圖，以A₁為原點，A₁B₁，A₁C₁，A₁A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A₁－B₁C₁A，則，，，，．

（Ⅰ）在△PAA₁中有，即．

∴，，．

設(shè)平面BA₁D的一個法向量為，

則令，則．

∵，

∴PB₁∥平面BA₁D，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA₁D的一個法向量．

又為平面AA₁D的一個法向量．∴．

故二面角A－A₁D－B的平面角的余弦值為．