已知P為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且cos∠PF1F2=sin∠PF2F1=
5
5

則此雙曲線離心率是（　　）
A、
5
B、5
C、2
5
D、3
分析：先根據(jù)cos∠PF1F2=sin∠PF2F1推斷△PF1F2為直角三角形，設(shè)|PF1|=x，||PF2|=y，根據(jù)勾股定理可知x2+y2=4c2，同時(shí)又根據(jù)正弦定理可得
x
sin∠PF2F1
=
y
sin∠PF1F2
得出x與y的關(guān)系，聯(lián)立方程求得x和y，進(jìn)而根據(jù)雙曲線定義y-x=2a，從而找到a和c的關(guān)系，求得離心率e．
解答：解：cos∠PF1F2=sin∠PF2F1
∴90°-∠PF1F2=∠PF2F1，即90°=∠PF1F2+∠PF2F1
設(shè)|PF1|=x，||PF2|=y
則有x2+y2=4c2，①
根據(jù)正弦定理
x
sin∠PF2F1
=
y
sin∠PF1F2

即
x
5
5
=
y
2
5
5

∴2x=y②
①②聯(lián)立方程求得x=
2
5
5
c，y=
4
5
5
c
∴根據(jù)雙曲線定義可知y-x=
2
5
5
c=2a
∴e=
c
a
=
5

故選A
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了用定義法來(lái)解決圓錐曲線的問(wèn)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)M（1，m）（m＞0）到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線
x2
a
-y2=1的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)a的值是（　�。�
A、
1
25
B、
1
9
C、
1
5
D、
1
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知雙曲線
x2
a 2
-
y2
b 2
=1（b＞a＞0），0為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，點(diǎn)M（
5
，
3
）在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且
OP
•
OQ
=0，求：|OP|2+|OQ|2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知命題p：曲線
x2
a-2
-
y2
6-a
=1為雙曲線；命題q：函數(shù)f（x）=（4-a）x在R上是增函數(shù)；若命題“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知命題p：任意x∈R，x2+1≥a，命題q：方程
x2
a+2
-
y2
2
=1表示雙曲線．
（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若“p且q”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•寧波模擬）已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1的離心率的范圍是數(shù)集M，設(shè)p：“k∈M”； q：“函數(shù)f（x）=
lg
x-1
x-2
  x＜1
2x-k       x≥1
的值域?yàn)镽”．則P是Q成立的（　　）

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