Question

已知f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

），
（1）試判斷f（x）的奇偶性，
（2）求證f（x）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，再計(jì)算f（-x），與f（x）比較，即可判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和f（x）的奇偶性即可證得f（x）＞0．

解答： （1）解：由f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）=x•

1+2x

2(2x-1)

由2^x-1≠0，可得x≠0，
則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（-x）=-x•

1+2-x

2(2-x-1)

=-x•

2x+1

2(1-2x)

=x•

2x+1

2(2x-1)

=f（x），
則f（x）為偶函數(shù)；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，2^x＞1，即2^x-1＞0，2^x+1＞0，
則f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）＞0，
由f（x）為偶函數(shù)，即有f（-x）=f（x），
則x＜0時(shí)，f（x）＞0成立．
則對(duì)于x≠0的任何實(shí)數(shù)，都有f（x）＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運(yùn)用，考查函數(shù)的值域，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和值域，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．