Question

現(xiàn)要設計一個如圖所示的金屬支架（圖中實線所示），設計要求是：支架總高度AH為6米，底座BCDEF是以B為頂點，以CDEF為底面的正四棱錐，C，D，E，F(xiàn)在以半徑為1米的圓上，支桿AB⊥底面CDEF．市場上，底座單價為每米10元，支桿AB單價為每米20元．設側棱BC與底面所成的角為θ．
（1）寫出tanθ的取值范圍；
（2）當θ取何值時，支架總費用y（元）最少？

Answer 1

分析：（1）因支架總高度AH為6米，且C，D，E，F(xiàn)在以半徑為1米的圓上，所以tanθ的最大值為6，從而得出tanθ的取值范圍；
（2）先寫出支架總費用y的函數(shù)表達式：y=4×10×

1

cosθ

+20(6-tanθ)，設f(θ)=

2

cosθ

-tanθ，其中tanθ∈（0，6]通過換元轉化成積是定值；求和的最小值問題；再利用基本不等式解．

解答：解：（1）因支架總高度AH為6米，且C，D，E，F(xiàn)在以半徑為1米的圓上，
∴tanθ的最大值為6．可得tanθ∈（0，6]（3分）
（2）y=4×10×

1

cosθ

+20(6-tanθ)（7分）
=20×(

2

cosθ

-tanθ)+120，（8分）
設f(θ)=

2

cosθ

-tanθ，其中tanθ∈（0，6]（9分）
則f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

，..（11分）
當θ=

π

6

時，f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

=0；
當θ∈(0，

π

6

)時，f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

＜0；當θ∈(

π

6

，

π

4

)時，f′(θ)=

2sinθ-1

cos2θ

＞0；（13分）
則當θ=

π

6

時，f（θ）取得最小值，滿足tanθ∈（0，6）（14分）
則當θ=

π

6

時，費用y最小（15分）

點評：本題給出實際應用問題，考查解三角形、數(shù)學上的換元思想和用基本不等式求函數(shù)最值等知識，解答的關鍵是利用三角函數(shù)得出總費用y的函數(shù)表達式．