如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),在正方形BCC1B1的邊上按逆針?lè)较虬慈缦乱?guī)律運(yùn)動(dòng):設(shè)第n次運(yùn)動(dòng)的路程為an,且an=cos
2
+2
,第n次運(yùn)動(dòng)后P點(diǎn)所在位置為Pn,回到B點(diǎn)后不再運(yùn)動(dòng).
(1)求二面角Pi-AC-B的余弦值;
(2)是否存在正整數(shù)i、j,使得直線PiPj與平面ACD1平行?若存在,找出所有符合條件的PiPj,并給出證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)先由an=cos
2
+2
求得當(dāng)n=1、2、3、4、5、6、7、8時(shí)的an的值,找出對(duì)應(yīng)的Pi(i=1,2,3,4,5,6,7,8)的位置,然后根據(jù)Pi的不同位置求解二面角Pi-AC-B的余弦值;
(2)由線面平行的判定定理,分析Pi(i=1,2,3,4,5,6,7,8)的8個(gè)點(diǎn)中有哪些點(diǎn)的連線能夠與平面ACD1內(nèi)的線平行,找出與平面ACD1內(nèi)平行的線即可.
解答:解:(1)由an=cos
2
+2
,知:a1=a5=2,a2=a6=1,a3=a7=2,a4=a8=3.
當(dāng)i=1、2、8時(shí),點(diǎn)P1,P2,P8位于線段BC上,此時(shí)二面角Pi-AC-B的平面角為0°,所以,二面角的余弦值等于1;
當(dāng)i=3、4時(shí),P3、P4位于平面ACC1上,此時(shí)二面角Pi-AC-B的大小為90°,所以,二面角的余弦值等于0;
然后以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
當(dāng)i=5或6時(shí),點(diǎn)P5,P6位于線段C1B1上,此時(shí)P5(2,4,4),P6(3,4,4),A(4,0,0),C(0,4,0)
所以
AP5
=(-2,4,4),
CP5
=(2,0,4)
,
AP6
=(-1,4,4),
CP6
=(3,0,4)
,
設(shè)平面AP5C的法向量為
a
=(x1y1,z1)
,平面AP6C的法向量為
c
=(x2,y2z2)
,
a
AP5
=0
a
CP5
=0
-2x1+4y1+4z1=0
2x1+4z1=0
,取z1=1,得x1=-2,y1=-2,
所以
a
=(-2,-2,1)

c
AP6
=0
c
CP6
=0
-x2+4y2+4z2=0
3x2+4z2=0
,取z2=3,得x2=-4,y2=-4,
所以
c
=(-4,-4,3)

由題意知平面ABC的一個(gè)法向量為
b
=(0,0,1)
,
再設(shè)二面角P5-AC-B=α,二面角P6-AC-B=β,
所以cosα=
a
b
|
a
||
b
|
=
1
3
,cosβ=
b
c
|
b
||
c
|
=
3
41
=
3
41
41

當(dāng)i=7時(shí),P7在線段BB1上,取AC中點(diǎn)E,連接BE、P7E,則∠P7EB為二面角P7-AC-B的平面角,
在直角三角形P7BE中,BE=
1
2
BD=2
2
,P7B=
3
4
BB1=3
,所以P7E=
17
,所以cos∠P7EB=
2
34
17

(2)存在正整數(shù)i=2,j=3;i=4,j=8;i=6,j=7使得直線PiPj與平面ACD1平行,
∵P2P3,P4P8,P6P7均不在平面ACD1內(nèi),且都平行于AD1,而AD1?面ACD1,
根據(jù)線面平行的判定可得三條直線均平行于平面ACD1
點(diǎn)評(píng):本題考查了二面角的平面角的求法,考查了平面與平面垂直的性質(zhì)及直線與平面平行的判定,考查了分析問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力,是中檔題.
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如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,問(wèn)球O的表面積.
(1) 如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切,則有S=
 

(2)如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切,則有S=
 

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如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點(diǎn).證明:向量
A1B
、
B1C
、
EF
是共面向量.

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如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為8,E、F分別為AD1,CD1中點(diǎn),G、H分別為棱DA,DC上動(dòng)點(diǎn),且EH⊥FG.
(1)求GH長(zhǎng)的取值范圍;
(2)當(dāng)GH取得最小值時(shí),求證:EH與FG共面;并求出此時(shí)EH與FG的交點(diǎn)P到直線B1B的距離.

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13
AB

(1)證明:直線EH與FG共面;
(2)若正方體的棱長(zhǎng)為3,求幾何體GHC1-EFC的體積.

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