Question

（2011•許昌三模）已知橢圓C：

x2

2

+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，下頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，圓M是以PF₂為直徑的圓．
（I）當(dāng)圓M的面積為

π

8

時(shí)，求PA所在直線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓M與直線AF₁相切時(shí)，求圓M的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和下頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出PF₂的長(zhǎng)度，根據(jù)以PF₂為直徑的圓的面積為

π

8

列式求出P點(diǎn)坐標(biāo)，則PA所在的直線方程可求；
（Ⅱ）寫出直線AF₁的方程，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓M的圓心坐標(biāo)，再由圓心到直線的距離等于圓的半徑列出P的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，根據(jù)P在橢圓上得另一關(guān)系式，兩式聯(lián)立可求M的坐標(biāo)，從而得到圓M的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），A（0，-1），
設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），則
|PF2|2=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+1-

x12

2

=

(x1-2)2

2

，
∴|PF₂|=

2

-

2

2

x1．
而圓M的面積為

π

8

，∴

π

8

=

π

8

(x1-2)2，∴x₁=1．
∴P（1，

2

2

）或P（1，-

2

2

）
故PA所在直線方程為y=(1+

2

2

)x-1或y=(1-

2

2

)x-1；
（Ⅱ）直線AF₁ 的方程為x+y+1=0，且M(

x1+1

2

，

y1

2

)到直線AF₁ 的距離為

| x1+1 2 + y1 2 +1|

2

=

2

2

-

2

4

x1．∴y₁=-1-2x₁．
聯(lián)立方程組得

y1=-1-2x1 x12 2 +y12=1

，∴x₁=0或x1=-

8

9

．
當(dāng)x₁=0時(shí)，M（

1

2

，-

1

2

），
∴圓M的方程為(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

．
當(dāng)x1=-

8

9

時(shí)，M（

1

18

，

7

18

），
所以圓M的方程為(x-

1

18

)2+(y-

7

18

)2=

169

162

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，是有一定難度題目．