Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x；
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）=x³-3x的導函數(shù)f′（x），分別令f′（x）＞0和f′（x）＜0便可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）分別求出兩個短點f（-3）和f（2）的值以及極值f（-1）和f（1）的值，比較一下便可求出f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最大值和最小值．

解答：解：（I）∵f（x）=x³-3x，
∴f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令 f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若  x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），則f'（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
若  x∈（-1，1），則f'（x）＜0，
故f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)；

（II）∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴當x=-3時，f（x）在區(qū)間[-3，2]取到最小值為-18．
∴當x=-1或2時，f（x）在區(qū)間[-3，2]取到最大值為2．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．