Question

（2012•開封二模）甲乙兩個(gè)學(xué)校高三年級分別有1100人，1000人，為了了解兩個(gè)學(xué)校全體高三年級學(xué)生在該地區(qū)二�？荚嚨臄�(shù)學(xué)成績情況，采用分層抽樣的方法從兩個(gè)學(xué)校一共抽取了105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，并作出了頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表如下，規(guī)定考試成績[120，150]內(nèi)為優(yōu)秀，

甲校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數(shù)	2	3	10	15
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數(shù)	15	10	y	3

乙校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數(shù)	1	2	9	8
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數(shù)	10	10	y	3

（1）計(jì)算x，y的值；
（2）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫右面2×2列聯(lián)表，若按是否優(yōu)秀來判斷，是否有97.5%的把握認(rèn)為兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異．
（3）根據(jù)抽樣結(jié)果分別估計(jì)甲校和乙校的優(yōu)秀率；若把頻率作為概率，現(xiàn)從乙校學(xué)生中任取3人，求優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

	甲校	乙校	總計(jì)
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
總計(jì)

附：k²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2＞K）	0.10	0.025	0.010
K2	2.706	5.024	6.635

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件知道從甲校和乙校各自抽取的人數(shù)，做出頻率分布表中的未知數(shù)；
（2）根據(jù)所給的條件寫出列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表做出觀測值，把觀測值同臨界值進(jìn)行比較，得到有97.5%的把握認(rèn)為兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異；
（3）確定ξ的取值，求出相應(yīng)的概率，可得分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）由分層抽樣知，甲校抽取了105×

1100

2100

=55人成績，乙校抽取了105×

1100

2100

=50人成績
∴x=6，y=7；
（2）2×2列聯(lián)表如下：

	甲校	乙校	總計(jì)
優(yōu)秀	10	20	30
非優(yōu)秀	45	30	75
總計(jì)	55	50	105

∵K²=

105×(10×30-20×45)2

30×75×50×55

≈6.109＞5.024，
∴有97.5%的把握認(rèn)為兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異；
（3）甲校優(yōu)秀率為

2

11

，乙校優(yōu)秀率為

2

5

ξ=0，1，2，3，ξ～B（3，

2

5

）
P（ξ=0）=

C

0 3

(

2

5

)0(1-

2

5

)3=

27

125

；P（ξ=1）=

C

1 3

(

2

5

)1(1-

2

5

)2=

54

125

；
P（ξ=2）=

C

2 3

(

2

5

)2(1-

2

5

)1=

36

125

；P（ξ=3）=

C

3 3

(

2

5

)3(1-

2

5

)0=

8

125

，
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	27 125	54 125	36 125	8 125

Eξ=3×

2

5

=

6

5

點(diǎn)評：本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)算出觀測值，理解臨界值對應(yīng)的概率的意義，屬于中檔題．