Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C，F(xiàn)是⊙O上的點，OC垂直于直徑AB，
過F點作⊙O的切線交AB的延長線于D、連接CF交AB于E點，
（1）求證：DE²=DB•DA；
（2）若⊙O的半徑為2

3

，OB=

3

OE，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）連接OF，利用切線的性質(zhì)及角之間的互余關(guān)系得到DF=DE，再結(jié)合切割線定理即可證明DE²=DB•DA；
（2）由圓中相交弦定理得CE•EF=AE•EB，結(jié)合直角三角形中邊的關(guān)系，先求出AE和EB，從而求出EF的長．

解答：解：（1）連接OF，
∵DF切⊙O于F，
∴∠OFD=90°，
∴∠OFC+∠CFD=90°，
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC，
∵CO⊥AB于O，
∴∠OCF+∠CEO=90°，
∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，
∴DF=DE，
∵DF是⊙O的切線，
∴DF²=DB•DA，
∴DE²=DB•DA；
（2）OE=

1

3

OB=2，CO=2

3

，CE=

CO2+OE2

=4，
∵CE•EF=AE•EB=（2

3

+2）（2

3

-2）=8，
∴EF=2

點評：本題主要考查了與圓有關(guān)的比例線段、圓的切線的性質(zhì)定理的應用，屬于基礎(chǔ)題之列．