Question

設(shè)定義在[x₁，x₂]上的函數(shù)y=f （x）的圖象為C，C的端點(diǎn)為A，B，P （x，y）為C上任意一點(diǎn)，若=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），且x=λx₁+（1-λ）x₂；記=λ+（1-λ），現(xiàn)定義“當(dāng)（k為正的常數(shù)）恒成立時(shí)，稱函數(shù)y=f （x）在[x₁，x₂]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似”．
（1）證明：0≤λ≤1；
（2）請(qǐng)給出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)k的范圍，使得在[0，1]上的函數(shù)y=x²與y=x³中有且只有一個(gè)可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似．

Answer 1

（1）證明：由題意，x₁≤x≤x₂，∴x₁≤λx₁+（1-λ）x₂≤x₂，∴x₁-x₂≤λ（x₁-x₂）≤0．
∵x₁-x₂＜0，∴0≤λ≤1；
（2）解：∵=λ+（1-λ），∴，∴
∴B、M、A三點(diǎn)在一條直線上．
又由（1）的結(jié)論，M在線段AB上，且與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相同．
對(duì)于[0，1]上的函數(shù)y=x²，A（0，0），B（1，1），
則有P（x，x²），M（x，x），∴=x-x²∈[0，]；
同理對(duì)于[0，1]上的函數(shù)y=x³，=x-x³，
令g（x）=x-x³，則g′（x）=1-3x²，
∵x∈（0，）時(shí)，g′（x）＞0；x∈（，1）時(shí)，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，）上單調(diào)遞增；在（，1）上單調(diào)遞減
∴g（x）在x=處取得最大值，而g（0）=g（1）=0，∴∈[0，]
∵
∴k∈時(shí)，函數(shù)y=x²與y=x³中有且只有一個(gè)可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似．
分析：（1）據(jù)區(qū)間的左端點(diǎn)小于等于右端點(diǎn)，列出x₁≤x≤x₂，將x的值代入解不等式，即可證得結(jié)論；
（2）對(duì)于y=x²與y=x³分別求出M，P兩點(diǎn)的距離的最大值，利用題目中的定義求出k的范圍即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．