Question

18．去年“十•一”期間，昆曲高速公路車輛較多．某調(diào)查公司在曲靖收費站從7座以下小型汽車中按進收費
站的先后順序，每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40輛汽車進行抽樣調(diào)查，將他們在某段高速公
路的車速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后，得到如圖的頻率分布直方圖．
（I）調(diào)查公司在抽樣時用到的是哪種抽樣方法？
（II）求這40輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值；
（III）若從這40輛車速在[60，70）的小型汽車中任意抽取2輛，求抽出的2輛車車速都在[65，70）的概率．

Answer 1

分析 （I）這個抽樣是按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調(diào)查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數(shù)比較多，這是一個系統(tǒng)抽樣；
（II）選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點即為眾數(shù)；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對應的橫軸的左邊即為中位數(shù)；利用各個小矩形的面積乘以對應矩形的底邊的中點的和為數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
（III）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數(shù)和車速在[65，70）的車輛數(shù)．從車速在（60，70）的車輛中任抽取2輛，設車速在[60，65）的車輛設為a，b，車速在[65，70）的車輛設為A，B，C，D，列出各自的基本事件數(shù)，從而求出相應的概率即可．

解答 解：（I）由題意知這個抽樣是按進服務區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調(diào)查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數(shù)比較多，這是一個系統(tǒng)抽樣．
故調(diào)查公司在采樣中，用到的是系統(tǒng)抽樣，（2分）
（II）眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點，即眾數(shù)的估計值等于77.5    （4分）
設圖中虛線所對應的車速為x，則中位數(shù)的估計值為：
0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x-75）=0.5，
解得x=77.5，
即中位數(shù)的估計值為77.5．…（6分）
（III）這40輛車中，車速在[60，70）的共有5×（0.01+0.02）×40=6輛，
其中車速在[65，70）的有5×0.02×40=4輛，記為A，B，C，D，
車速在[60，65）的有5×0.01×40=2輛，記為a，b．
若從車速在[60，70）的這6輛汽車中任意抽取2輛的可能結果有：
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，a}，{A，b}，{B，C}，{B，D}，{B，a}，{B，b}，{C，D}，{C，a}，{C，b}，{D，a}，{D，b}，{a，b}，共15種不同的結果，
其中抽出的2輛車車速都在[65，70）的結果有6種，
因為抽到每種結果都是等可能的，
所以從這40輛車速在[60，70）的汽車中任意抽取2輛，抽出的2輛車車速都在[65，70）的概率為P=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$．…（12分）

點評 解決頻率分布直方圖的有關特征數(shù)問題，利用眾數(shù)是最高矩形的底邊中點；中位數(shù)是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值；平均數(shù)等于各個小矩形的面積乘以對應的矩形的底邊中點的和．此題把統(tǒng)計和概率結合在一起，比較新穎，也是高考的方向，應引起重視．