Question

已知函數f（x）=（x²﹣3x+3）e^x，設t＞﹣2，f（﹣2）=m，f（t）=n．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數f（x）在[﹣2，t]上為單調函數；
（2）試判斷m，n的大小并說明理由；
（3）求證：對于任意的t＞﹣2，總存在x_0^∈（﹣2，t），滿足=，并確定這樣的x₀的個數．

Answer 1

解：（1）因為f′（x）=（2x﹣3）e^x+（x²﹣3x+3）e^x，
由f′（x）＞0x＞1或x＜0，
由f′（x）＜00＜x＜1，
∴函數f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，
要使函數f（x）在[﹣2，t]上為單調函數，則﹣2＜t≤0，
（2）因為函數f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，
所以f（x）在x=1處取得極小值e，
又f（﹣2）=13e﹣2＜e，
所以f（x）在[2，+∞）上的最小值為f（﹣2），
從而當t＞﹣2時，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，
（3）證：∵ ，
∴ ，即為x₀²﹣x₀= ，
令g（x）=x²﹣x﹣ ，
從而問題轉化為證明方程g（x）= =0在（﹣2，t）上有解并討論解的個數，因為g（﹣2）=6﹣ （t﹣1）²=﹣ ，
g（t）=t（t﹣1）﹣ = ，
所以當t＞4或﹣2＜t＜1時，g（﹣2）·g（t）＜0，
所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，
當1＜t＜4時，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=﹣ ＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有兩解，
當t=1時，g（x）=x²﹣x=0，解得x=0或1，
所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，
當t=4時，g（x）=x²﹣x﹣6=0，
所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，
綜上所述，對于任意的t＞﹣2，總存在x₀∈（﹣2，t），
滿足  ，
且當t≥4或﹣2＜t≤1時，有唯一的x₀適合題意，
當1＜t＜4時，有兩個x₀適合題意．