Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，點(diǎn)E在PA線段上，PC平面BDE

（1）請確定點(diǎn)E的位置；并說明理由.

（2）若是等邊三角形，， 平面PAD平面ABCD，四棱錐的體積為，求點(diǎn)E到平面PCD的距離.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)為的中點(diǎn)，理由見解析（2）

【解析】

（1）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)M，連結(jié)ME則M是AC中點(diǎn)，由PC平面BDE，得PCME，由此能證明AE=PE．

（2）以AD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA為x軸，在平面ABCD中，過點(diǎn)O作AB的平行線為y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出E到平面PCD的距離．

（1）連接AC交BD于M，如圖，

當(dāng)E為AP的中點(diǎn)時(shí)， 點(diǎn)M為AC的中點(diǎn).

∴在中，，平面BDE，

平面BDE. ∴平面BDE.

（2）是等邊三角形，，平面平面ABCD，

以AD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA為x軸，在平面ABCD中，過點(diǎn)O作AB的平行線為y軸，

以OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，四棱錐的體積為，

，解得．

0，，0，，0，，0，，6，．

0，，6，，0，，

設(shè)平面PCD的法向量，

則，取，得0，，

到平面PCD的距離．