Question

當(dāng)兔子和狐貍處于同一棲息地時(shí)，忽略其他因素，只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響，為了簡(jiǎn)便起見，不妨做如下假設(shè)：
（1）由于自然繁殖，兔子數(shù)每年增長(zhǎng)10%，狐貍數(shù)每年減少15%；
（2）由于狐貍吃兔子，兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍，狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍；
（3）第n年時(shí)，兔子數(shù)量R_n用表示，狐貍數(shù)量用F_n表示；
（4）初始時(shí)刻（即第0年），兔子數(shù)量有R=100只，狐貍數(shù)量有F=30只．
請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)解決如下問題：
（1）列出兔子與狐貍的生態(tài)模型；
（2）求出R_n、F_n關(guān)于n的關(guān)系式；
（3）討論當(dāng)n越來越大時(shí)，兔子與狐貍的數(shù)量是否能達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)兔子數(shù)每年增長(zhǎng)10%，狐貍數(shù)每年減少15%，兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍，狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍，可得
（2）利用矩陣，求出矩陣的特征多項(xiàng)式，從而可求矩陣的特征值、特征向量，由此可求R_n、F_n關(guān)于n的關(guān)系式；
（3）當(dāng)n越來越大時(shí)，0.95ⁿ越來越接近于0，R_n，F(xiàn)_n分別趨向于常量210，140．由此可知，時(shí)間充分長(zhǎng)后，兔子與狐貍的數(shù)量達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)．
解答：解：（1）∵兔子數(shù)每年增長(zhǎng)10%，狐貍數(shù)每年減少15%，兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍，狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍
∴…4’
（2）設(shè)，
∴=…=
又矩陣M的特征多項(xiàng)式=λ²-1.95λ+0.95=（λ-1）（λ-0.95）
令f（λ）=0得：λ₁=1，λ₂=0.95
特征值λ₁=1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為
特征值λ₂=0.95對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為…6’
且
∴=
∴…14’
（3）當(dāng)n越來越大時(shí)，0.95ⁿ越來越接近于0，R_n，F(xiàn)_n分別趨向于常量210，140．即隨著時(shí)間的增加，兔子與狐貍的數(shù)量逐漸增加，當(dāng)時(shí)間充分長(zhǎng)后，兔子與狐貍的數(shù)量達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)．…2’
點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為載體，考查矩陣的運(yùn)用，考查特征值與特征向量，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題．