Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx，常數(shù)a＞0
（1）當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值-2，求函數(shù)f（x）的極大值
（2）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），當(dāng)x≠x₀時(shí)，若$\frac{h（x）-g（x）}{{x-{x_0}}}＞0$在D內(nèi)恒成立，則稱點(diǎn)P為h（x）的“類優(yōu)點(diǎn)”，若點(diǎn)（1，f（1））是函數(shù)f（x）的“類優(yōu)點(diǎn)”，
①求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程
②求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值即可；
（2）①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
②結(jié)合題意得到F（x）=f（x）-g（x）=x²-（a+2）x+alnx+a+1，通過討論a的范圍得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定a的范圍即可．

解答 解：（1）由題意，f（1）=1-（a+2）=-2，得a=1，
此時(shí)$f'（x）=2x-3+\frac{1}{x}=\frac{{（{x-1}）（{2x-1}）}}{x}$，（x＞0）…（2分）
令f'（x）=0，得x=1或$x=\frac{1}{2}$…（3分）
當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{2}或x＞1$時(shí)，f'（x）＞0； 當(dāng)$\frac{1}{2}＜x＜1$時(shí)，f'（x）＜0
所以f（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$與（1，+∞）上單調(diào)遞增，在$（{\frac{1}{2}，1}）$上遞減
所以當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）有極大值$-\frac{5}{4}+ln\frac{1}{2}$…（4分）
（2）①∵$f'（x）=2x-（{a+2}）+\frac{a}{x}=\frac{{（{2x-a}）（{x-1}）}}{x}$，（x＞0）
∴f（1）=1-（a+2）=-a-1，f'（1）=0
所以函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為g（x）=-a-1…（6分）
②若點(diǎn)（1，f（1））是函數(shù)f（x）的“類優(yōu)點(diǎn)”，
令F（x）=f（x）-g（x）=x²-（a+2）x+alnx+a+1常數(shù)a＞0，
$則當(dāng)x∈（{0，1}）∪（{1，+∞}）時(shí)，恒有\(zhòng)frac{F（x）}{x-1}＞0$
又F（1）=0，且∵$F'（x）=2x-（{a+2}）+\frac{a}{x}=\frac{{（{2x-a}）（{x-1}）}}{x}$，（x＞0）
令F'（x）=0，得x=1或$x=\frac{a}{2}$，a＞0…（8分）
則當(dāng)a=2時(shí)，∵F'（x）≥0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上遞增
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)（x）＜F（1）=0； 
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（1）=0
故當(dāng)x≠1時(shí)，恒有$\frac{F（x）}{x-1}＞0$成立…（9分）
當(dāng)a＞2時(shí)，由F'（x）＜0，得$1＜x＜\frac{a}{2}$，
∴F（x）在$（{1，\frac{a}{2}}）$上遞減，F(xiàn)（x）＜F（1）=0．
所以在，$1＜x＜\frac{a}{2}$，$\frac{F（x）}{x-1}＞0$不成立．…（10分）
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，由F'（x）＜0，得$\frac{a}{2}＜x＜1$，
∴F（x）在$（{\frac{a}{2}，1}）$上遞減，F(xiàn)（x）＞F（1）=0．
所以在，$\frac{a}{2}＜x＜1$，$\frac{F（x）}{x-1}＞0$不成立…（11分）
綜上可知，若點(diǎn)（1，f（1））是函數(shù)f（x）的“類優(yōu)點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)a=2…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查新定義的理解，是一道中檔題．