Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC₁上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S．則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①當(dāng)0＜CQ＜

1

2

時(shí)，S為四邊形； 
②當(dāng)CQ=

1

2

時(shí)，S不為等腰梯形；
③當(dāng)

3

4

＜CQ＜1時(shí)，S為六邊形； 
④當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為

6

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：

分析：易知，過點(diǎn)A，P，Q的平面必與面ADA₁，BC₁C相交，且交線平行，據(jù)此，當(dāng)Q為C₁C中點(diǎn)時(shí)，截面與面ADD₁交與AD₁，為等腰梯形，據(jù)此可以對(duì)①②進(jìn)行判斷；
連接AP，延長交DC于一點(diǎn)M，再連接MQ并延長其交D₁D于N，連接AN，可見，截面此時(shí)不會(huì)與面ABB₁相交，據(jù)此判斷③，
當(dāng)CQ=1時(shí)，截面為底為

2

，腰長為

5

2

的等腰梯形，由此可求其面積．判斷④．

解答： 解：連接AP并延長交DC于M，再連接MQ，
對(duì)于①，當(dāng)0＜CQ＜

1

2

時(shí)，MQ的延長線交線段D₁D與點(diǎn)N，且N在D₁與D之間，連接AN，則截面為四邊形APQN；
特別的當(dāng)Q為中點(diǎn)即CQ=

1

2

時(shí)，N點(diǎn)與D₁重合，此時(shí)截面四邊形APQN為等腰梯形，故①對(duì)，②錯(cuò)；
當(dāng)

3

4

＜CQ＜1時(shí)，MQ與DD₁延長線相交于一點(diǎn)N，再連接AN，與A₁D₁交于一點(diǎn)，此時(shí)截面是五邊形，故③錯(cuò)；
當(dāng)CQ=1時(shí)，MQ交DD₁延長線于N點(diǎn)，且DD₁=D₁N=1，連接AN交A₁D₁于的中點(diǎn)位置，此時(shí)，截面四邊形是邊長為

5

2

的菱形，其對(duì)角線長為正方體的對(duì)角線長

3

，另一條對(duì)角線長為面對(duì)角線長為

2

，所以s=

1

2

×

2

×

3

=

6

2

，故④正確．
故答案為①④．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了截面的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用面面平行、面面相交的性質(zhì)確定截面的頂點(diǎn)．