Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x，其定義域為[-2，t]（t＞-2），設(shè)f（-2）=m，f（t）=n．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（2）試判斷m，n的大小并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=（x²-3x+3）•e^x，知f′（x）=（x²-x）e^x，令f′（x）≥0，則x≥1或x≤0，由此能夠確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)．
（2）根據(jù)-2＜t≤0，0＜t≤1，t＞1，進行分類討論，由此能夠判斷m，n的大小并說明理由．
解答：解：（1）∵f（x）=（x²-3x+3）•e^x，
∴f′（x）=（x²-x）e^x（2分）
令f′（x）≥0，則x≥1或x≤0，
∴f（x）在（-∞，0]，[1，+∞）上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減（5分）
∴-2＜t≤0．（7分）
①若-2＜t≤0，則f（x）在[-2，t]上單調(diào)遞增，
∴f（t）＞f（-2），
即n＞m．（9分）
②若0＜t≤1，則f（x）在[-2，0]上單調(diào)遞增，在[0，t]上單調(diào)遞減
又f（-2）=，f（1）=e，
∴f（t）≥f（1）＞f（-2），即n＞m．（11分）
③若t＞1，則f（x）在（_∞，0]，[1，t]上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減
∴f（t）＞f（1）＞f（-2），即n＞m．（13分）     
綜上，n＞m．（15分）
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．